Um Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, nehmen Sie einfach, was jede Dezimalzahl aus 1000 darstellt, und addieren Sie diese Zahlen dann zusammen. Die Dezimalzahl 0,125 ist gleich der Summe von 100/1000 + 20/1000 + 5/1000 für eine Gesamtsumme von (100 + 20 + 5)/1000 =125/1000.
Die Zahlen, die wir in unserem täglichen Leben verwenden, können in zwei Hauptgruppen unterteilt werden:rationale und irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen können nicht genau in Dezimalform ausgeschrieben werden, da Sie dafür unendlich viele Dezimalstellen benötigen würden. Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen geschrieben werden, die entweder nach einer bestimmten Anzahl von Ziffern aufhören oder ein Ziffernmuster für immer wiederholen.
Im heutigen Artikel werden wir lernen, wie man eine Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl nimmt und sie in einen äquivalenten Bruch umwandelt.
Was sind abschließende und sich wiederholende Dezimalzahlen?
Bevor wir ins Detail gehen, wie man abschließende und sich wiederholende Dezimalzahlen tatsächlich in Brüche umwandelt, sollten wir besser verstehen, was es bedeutet, dass eine rationale Zahl überhaupt eine „abschließende“ oder „sich wiederholende“ Dezimalzahl ist. Um zu sehen, was der Unterschied ist, werfen wir einen Blick auf ein paar Beispiele für Dezimaldarstellungen von rationalen Zahlen:
- 1/4 =0,25 ist ein Abschluss dezimal, da es eine endliche Anzahl von Dezimalstellen hat
- 1/3 =0,3333… ist eine Wiederholung dezimal, da die Zahl 3 ewig weitergeht
- 3/5 =0,6 ist ein weiteres Ende Dezimalzahl
- 7/9 =0,7777… ist eine Wiederholung dezimal, da 7 unendlich weitergeht
- 9/11 =0,818181… ist eine weitere Wiederholung dezimal, da sich das Ziffernmuster „81“ ewig wiederholt.
Also eine Wiederholung dezimal ist eine rationale Zahl, deren Dezimaldarstellung ein sich wiederholendes Muster und eine Endung hat dezimal ist eine rationale Zahl, deren Dezimaldarstellung schließlich aufhört. (Denken Sie daran, eine Dezimalzahl, die ohne sich wiederholendes Muster immer weitergeht, ist irrational.)
Kann eine abschließende Dezimalzahl als wiederkehrende Dezimalzahl geschrieben werden?
Wenn Sie jedoch darüber nachdenken, werden Sie feststellen, dass jede abschließende Dezimalzahl tatsächlich auch als sich wiederholende Dezimalzahl geschrieben werden kann. Wie? Nun, da Sie immer unendlich viele Nullen an das Ende einer Zahl anhängen können, ohne ihren Wert zu ändern, können Sie eine unendlich lange Reihe von Nullen an das Ende einer ansonsten abschließenden Dezimalzahl anhängen … und Sie haben sie in verwandelt eine sich wiederholende Dezimalstelle!
Beispielsweise können Sie sich die abschließende Dezimalzahl 0,25 als 0,25000 vorstellen … stattdessen. Aber in diesem Fall spielt das alles keine Rolle, da der Wert der Zahl genau gleich ist, egal wie sie geschrieben wird. Und deshalb meinen wir normalerweise eine Dezimalzahl, wenn etwas anderes ist, wenn wir von „sich wiederholender Dezimalzahl“ sprechen als nur Nullen wiederholen!
Wie man Dezimalzahlen in Brüche umwandelt
Jetzt, da wir den Jargon kennen und den Unterschied zwischen einer abschließenden und einer sich wiederholenden Dezimalzahl erkennen können, wollen wir herausfinden, wie man sie in Brüche umwandelt. Mit anderen Worten, in den Beispielen, die wir zuvor gegeben haben, sagten wir Dinge wie „der Bruch 1/4 ist gleich der abschließenden Dezimalzahl 0,25“ und „der Bruch 7/9 ist gleich der sich wiederholenden Dezimalzahl 0,7777 …“ und so weiter. Aber jetzt wollen wir herausfinden, wie wir diese Aufgabe rückwärts lösen, sodass wir eine Dezimalzahl wie 0,818181… nehmen und sie in einen Bruch mit einem entsprechenden Wert umwandeln können.
So konvertieren Sie einstellige Dezimalstellen in Brüche
Beginnen wir damit, eine einfache abschließende Dezimalzahl wie 0,5 in einen Bruch umzuwandeln. Wie wir in dem Artikel „Was sind Dezimalzahlen?“ gelernt haben, bedeutet eine Dezimalzahl wie 0,5 „fünf vom Zehntelbruch“. Was natürlich gerade dem Bruch 5/10 entspricht. Und ob Sie es glauben oder nicht, das ist die Lösung des Problems! Die Dezimalzahl 0,5 entspricht also dem Bruch 5/10. Einfach, oder?
Nun, es stellt sich heraus, dass wir mit dieser Fraktion tatsächlich noch ein bisschen mehr machen können. Wir werden darüber in einem zukünftigen Artikel sprechen, aber dieser Bruch kann umgeschrieben werden, so dass es das ist, was man „auf die niedrigsten Terme reduziert“ nennt. Ohne zu sehr ins Detail zu gehen, ist die Grundidee, dass wir sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs 5/10 durch 5 dividieren können, um herauszufinden, dass es eine äquivalente und einfachere Darstellung von 1/2 gibt. Aber mach dir keine Sorgen, wenn das jetzt alles wie ein Haufen verrücktes Geschwätz klingt – wir werden uns das bald genug genauer ansehen.
Wie man abschließende Dezimalzahlen in Brüche umwandelt
Okay, wir sind jetzt bereit, zu einem komplexeren Problem überzugehen. Lassen Sie uns eine abschließende Dezimalzahl wie 0,875 in einen Bruch umwandeln. Wie wir in dem früheren Artikel über Dezimalzahlen besprochen haben, steht die 8 in 0,875 für 8/10, die 7 für 7/100 und die 5 für 5/1000. Die Dezimalzahl 0,875 ist also gleich
8/10 + 7/100 + 5/1000
Aber anstatt sich Gedanken darüber zu machen, wie man all diese Brüche zusammenzählt (was ein weiteres Thema ist, über das wir in einem zukünftigen Artikel sprechen werden), können wir die Dinge vereinfachen, indem wir zuerst 0,875 als
schreiben0,875 =0,800 + 0,070 + 0,005
Wenn wir dies tun, können Sie sehen, dass 0,875 gleich der Summe von 800/1000 + 70/1000 + 5/1000 für eine Gesamtsumme von (800 + 70 + 5)/1000 =875/1000 ist. Und das ist die Antwort!
Wie bei unserem vorherigen Problem stellt sich heraus, dass wir diesen Bruch auf die niedrigsten Terme reduzieren können, indem wir seinen Zähler und Nenner durch 125 teilen. Dabei finden wir heraus, dass 0,875 =875/1000 äquivalent zu 7/8 ist. Aber machen Sie sich auch hier keine Sorgen, wenn Sie nicht verstehen, wie die Reduzierung auf die niedrigsten Konditionen vorerst funktioniert ... wir werden bald darauf zurückkommen und ausführlicher darüber sprechen.
Übungsprobleme
So wandelst du also eine abschließende Dezimalzahl in einen äquivalenten Bruch um. Wie wäre es mit einer sich wiederholenden Dezimalzahl wie 0,333… oder 0,818181…? Leider haben wir für heute keine Zeit mehr. Das bedeutet, dass wir uns beim nächsten Mal mit sich wiederholenden Dezimalzahlen auseinandersetzen. Aber um sicherzustellen, dass Sie mit dem Umwandeln von terminierenden Dezimalzahlen auf dem Laufenden sind, sind hier ein paar Übungsaufgaben, die Sie ausprobieren können.
- 1.4 = ______
- 0,125 = ______
- 0,800 = ______
Sie können die Antworten unten finden, aber versuchen Sie es zuerst, ohne nachzuschauen!
Üben Sie Problemlösungen
- 1.4 = 1 und 4/10. Wir können dies auf die niedrigsten Terme reduzieren, indem wir Zähler und Nenner oder 4/10 durch 2 dividieren, um den äquivalenten Bruch 1 und 2/5 zu erhalten.
- 0,125 = 125/1000. Wir können dies auf die niedrigsten Terme reduzieren, indem wir Zähler und Nenner durch 125 dividieren, um den äquivalenten Bruch 1/8 zu erhalten.
- 0,800 = 8/10. Noch einmal, wir können dies auf die niedrigsten Terme reduzieren, indem wir die Ober- und Unterseite durch 2 teilen, um den äquivalenten Bruch 4/5 zu erhalten. Die Nullen am Ende von 0,800 ändern nichts an dem Problem, da sie uns nur sagen, dass es null Hundertstel und null Tausendstel gibt!