Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180 Grad, da ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden anderen Winkel im Dreieck ist. Mit anderen Worten, die beiden anderen Winkel im Dreieck (die zusammen den Außenwinkel bilden) müssen sich mit dem dritten Winkel zu einem 180°-Winkel kombinieren.
Sie wissen, dass die Winkel eines Dreiecks immer 180 ergeben? Warum ist das so? Schließlich ist 180 der Winkel, der sich von einer Seite einer geraden Linie zur anderen erstreckt – also ist es irgendwie seltsam, dass dies die Gradzahl in den Winkeln eines Dreiecks ist.
Was um alles in der Welt hat ein Dreieck mit einer einzigen geraden Linie zu tun? Wie sich herausstellt, ziemlich viel. Und Dreiecke haben auch viel mit Rechtecken, Fünfecken, Sechsecken und der ganzen Familie mehrseitiger Formen, die als Polygone bekannt sind, zu tun.
Was genau ich damit meine, werden wir in den nächsten Wochen sehen. Aber für heute beginnen wir damit, genau herauszufinden, warum sich die Winkel eines Dreiecks immer zu 180 addieren. Das dachten Sie zumindest … weil wir auch sehen werden, dass sie es manchmal nicht tun.
Zunächst ein Rückblick:Arten von Dreiecken
Eine kurze Auffrischung:Es gibt drei verschiedene Arten von Basisdreiecken. Sie sind gleichseitig, gleichschenklig und ungleichmäßig.
- Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten
- Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei Seiten gleicher Länge und eine Seite unterschiedlicher Länge
- Ein ungleichmäßiges Dreieck hat drei Seiten unterschiedlicher Länge
Die Seitenlänge eines Dreiecks wirkt sich direkt auf seine Winkel aus.
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Innen- und Außenwinkel
Bevor wir zu weit in unsere Geschichte über Dreiecke und die Gesamtzahl der Grad in ihren drei Winkeln einsteigen, gibt es ein kleines bisschen geometrisches Vokabular, über das wir sprechen sollten. Und das ist der Unterschied zwischen einem Innen- und einem Außenwinkel.
Am einfachsten lässt sich der Unterschied zwischen diesen beiden Dingen anhand eines Beispiels beschreiben. Da das heutige Thema das Dreieck ist, sprechen wir über die Innen- und Außenwinkel eines Dreiecks. Kurz gesagt, die Innenwinkel sind alle Winkel innerhalb die Grenzen des Dreiecks. Mit anderen Worten, sie sind die Art von Blickwinkeln, über die wir die ganze Zeit gesprochen haben.
Die Außenwinkel eines Dreiecks sind alle Winkel zwischen einer Seite des Dreiecks und der Linie, die man erhält, wenn man eine benachbarte Seite nach außen verlängert die Grenzen des Dreiecks. Wenn Sie darüber nachdenken, werden Sie sehen, dass Sie immer 180 – eine gerade Linie erhalten, wenn Sie einen der Innenwinkel eines Dreiecks zu seinem benachbarten Außenwinkel addieren.
Warum haben Dreiecke 180 Grad?
Womit wir bei der Hauptfrage für heute wären:Warum addieren sich die Innenwinkel eines Dreiecks immer zu 180? Wie sich herausstellt, können Sie dies herausfinden, indem Sie an die Innen- und Außenwinkel eines Dreiecks denken. Um zu sehen, was ich meine, schnappen Sie sich entweder Ihre Fantasie oder ein Blatt Papier, denn es ist Zeit für ein kleines mathematisches Kunst-und-Handwerk-Zeichenprojekt.
Beginnen Sie mit dem Zeichnen eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem horizontalen Bein, einem vertikalen Bein und einer Hypotenuse, die sich von links oben nach rechts unten erstreckt. Machen Sie nun eine Kopie dieses Dreiecks, drehen Sie es um 180 und fügen Sie es von Hypotenuse zu Hypotenuse an das Original an (genauso wie wir es getan haben, als wir herausgefunden haben, wie man die Fläche eines Dreiecks ermittelt). Erstellen Sie zum Schluss noch eine weitere Kopie des ursprünglichen Dreiecks und verschieben Sie es nach rechts, sodass es direkt neben dem neu gebildeten Rechteck sitzt. Bei mir bisher? Wenn ja, sollte Ihr Bild so aussehen:
Was ist der Sinn dieses Bildes? Sehen Sie sich den Innenwinkel unten rechts des ursprünglichen Dreiecks (das mit „A“ gekennzeichnete) an. Sehen Sie sich nun die beiden Winkel an, die den Außenwinkel für diese Ecke des Dreiecks bilden (die mit „B“ und „C“ bezeichneten). Wenn wir die Innen- und Außenwinkel einer Ecke eines Dreiecks addieren, erhalten wir bekanntlich immer 180. Und unsere kleine Zeichnung zeigt, dass der betreffende Außenwinkel gleich der Summe der beiden anderen Winkel im Dreieck ist. Mit anderen Worten, die anderen beiden Winkel im Dreieck (die zusammen den Außenwinkel bilden) müssen mit dem Winkel in der unteren rechten Ecke kombiniert werden, um einen 180-Winkel zu ergeben.
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Der Einfachheit halber haben wir unsere Zeichnung mit einem rechtwinkligen Dreieck erstellt. Aber es stellt sich heraus, dass Sie mit jedem Dreieck, das Ihnen gefällt, eine genau analoge Zeichnung machen können, und Sie werden am Ende immer zum gleichen Schluss kommen. Versuchen Sie, ein paar Zeichnungen anzufertigen, beginnend mit verschiedenen Dreiecken Ihrer Wahl, um sich selbst davon zu überzeugen. Als Beispiel, hier ist ein weiteres, das ich gemacht habe:
Die zwangsläufige Schlussfolgerung dieses Spiels ist, dass die Innenwinkel eines Dreiecks immer 180 ergeben müssen. Unsere schöne und elegante kleine Zeichnung beweist, dass dies so sein muss.
Oder doch?
Können Dreiecke mehr als 180 Grad haben?
Könnte es eine Einschränkung unserer Zeichnung geben, die uns für eine andere, exotischere Möglichkeit blind macht? Hier ist etwas zum Nachdenken oder Ausprobieren. Besorgen Sie sich einen nicht aufgeblasenen Ballon, legen Sie ihn auf eine ebene Fläche und zeichnen Sie ein möglichst perfektes Dreieck darauf. Wenn Sie einen Winkelmesser zur Hand haben, wäre es großartig, die Innenwinkel des Dreiecks zu messen und zu addieren und zu überprüfen, ob sie ziemlich nahe bei 180 liegen.
Blase nun den Ballon auf und sieh dir dein Dreieck an. Was ist damit passiert? Wenn Sie diesen Winkelmesser haben, versuchen Sie noch einmal, seine Innenwinkel zusammenzufassen. Was ist mit dieser Summe passiert? Bekommst du immer noch 180? Was bedeutet das alles für die Frage, ob sich die Innenwinkel eines Dreiecks immer zu 180 ° addieren, wie wir anscheinend herausgefunden haben?
Zum Glück habe ich die Antwort. Gehen Sie weiter zum Artikel der nächsten Woche, in dem wir mit der Erforschung der seltsamen und wunderbaren Welt begannen, die als nicht-euklidische Geometrie bekannt ist.